345 TOUJOURS

Représentations graphiques et nombres

   Oui ! Oui, il faut un esprit un peu tordu, encore, pour trouver plaisir à s'aventurer dans l'exploration du monde fantastique des maths. Encore une façon de perdre son temps vers d'autres évasions, et la fréquentation des nombres et de leurs mystères est certes gage de dépaysement assuré, avec à la clé de beaux vertiges ontologiques (houa la phrase).
Alors aujourd'hui, nous suivons un aventurier archéologue dans une découverte totalement inventée.
Quelque part en Afrique, il met au jour cette tablette d'argile sur laquelle figurent d'obscurs tracés.

 

Il faut attendre une deuxième découverte, cinq ans après au même endroit, pour déclencher une réflexion sur une interprétation possible. Une autre tablette au dessin très voisin, qui en permettra le déchiffrement.

 

 Tout ceci pouvait-il constituer l'élément d'un roman, mais c'est trop fatigant, aussi je vous livre la clé.
(noter ma morale sous-jacente : je déplore qu'on ne se pose pas de questions là où l'imagination en trouve !)

- on relève sur la première tablette 9 carrés, dont 5 barrés, 4 contrebarrés, 3 avec cercle
- on compte sur la seconde tablette 25 carrés répartis en 13, 12 et 5

Pour réaliser ce type de carrés un peu "magiques", il suffit de mettre graphiquement "en croix" un nombre impair, et de compter les valeurs placées selon ce type de disposition.
En réalité cette méthode permet de générer des triplets pythagoriciens.
Mais pas tous. On observe assez vite que deux côtés ont 1 de différence.

On a en effet
c² = a² + b² ; avec c = b1
d'où (b+1)² = a² + b²
b²+1+2b = a² + b²
a² = 2b + 1 ou a² = b + b+1
soit a² = b + c
Ce sont bien les valeurs disposées sur les dessins des tablettes

 Les résultats sont ceux de triangles pythagoriciens (triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers). Les deux carrés "magiques" traduisent deux triangles, 3 4 5 et 5 12 13.  

On pourrait les présenter en couleur

- avec a = ce qui contient du jaune - b = ce qui contient du bleu - c = ce qui contient du rouge le bleu se mêlant avec le jaune pour donner du vert et le rouge avec le jaune = orange

 J'ai imaginé cela en 1989 et l'ai intitulé recette ou méthode PIJ (cherchez pourquoi).

On peut inventer des variantes...
Dans celle qui suit, a est décomposé en facteurs (3x5). 

15 8 17

En guise de conclusion, je retiens ce qui suit de notre excursion :
- une relation peut être représentée de différentes façons graphiques. Dans le cas présent, le triangle rectangle et le carré.
- une série peut s'interpréter à différents niveaux, une suite donnée peut relever d'une série, mais aussi d'autres séries, parfois liées.
Par exemple, si l'on soumet le test suivant : « De quelle suite peut faire partie "3 4 5", ou quelles relations régissent "3 4 5" ? »,
les réponses seront (exemples non limitatifs) :
3, 3+1, 3+2... a, a+1, a+2...
3² = 4 + 5 a² = b + c
3² = 5² - 4² a² = c² - b²
3x2 = 5x2 - 4 2a = 2c - b
1+2 2+3 3+1
L'air de rien, cette dernière relation m'a toujours semblé prometteuse, j'y reviendrai. Trois rondelles de rayons 1 2 3 forment un triangle 345.
A suivre.